LeanMachineLearning exposition

Bandits.ClippedUCB.measurable_ucb๐Ÿ”—

This page has the declaration's own card below, then its dependency graph, then a card for each dependency (type dependencies first, then the rest of the transitive closure). For a theorem, the graph and the dependency cards only follow its statement's dependencies (its proof is replaced by sorry, so what it proves doesn't depend on how); for everything else, both the type and the body/value are followed, since their content is part of what later declarations build on.

Minimal Lean file

measurable_ucb๐Ÿ”—

LemmaBandits.ClippedUCB.measurable_ucb
Details

No docstring.

๐Ÿ”—theorem
Bandits.ClippedUCB.measurable_ucb.{u_1} {K : โ„•} {l u ฯƒ2 ฮด : โ„}
  {ฮฉ : Type u_1} {A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ Fin K} {R : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„} [MeasurableSpace ฮฉ]
  {a : Fin K} {n : โ„•} (hA : โˆ€ (t : โ„•), Measurable (A t))
  (hR : โˆ€ (t : โ„•), Measurable (R t)) : Measurable (ucb A R l u ฯƒ2 ฮด a n)
Bandits.ClippedUCB.measurable_ucb.{u_1}
  {K : โ„•} {l u ฯƒ2 ฮด : โ„} {ฮฉ : Type u_1}
  {A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ Fin K} {R : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„}
  [MeasurableSpace ฮฉ] {a : Fin K} {n : โ„•}
  (hA : โˆ€ (t : โ„•), Measurable (A t))
  (hR : โˆ€ (t : โ„•), Measurable (R t)) :
  Measurable (ucb A R l u ฯƒ2 ฮด a n)

Code

lemma measurable_ucb [MeasurableSpace ฮฉ] {a : Fin K} {n : โ„•} (hA : โˆ€ t, Measurable (A t))
    (hR : โˆ€ t, Measurable (R t)) : Measurable (ucb A R l u ฯƒ2 ฮด a n)
Type uses (1)
Body uses (4)
Used by (1)

Actions: Source ยท Open Issue

Proof
Measurable.ite (by measurability) (by fun_prop) (by fun_prop)

Dependency graph

Type dependencies (1)

ucb๐Ÿ”—

DefinitionBandits.ClippedUCB.ucb
Details

Clipped upper confidence bound used in the regret analysis of Thompson sampling.

๐Ÿ”—def
Bandits.ClippedUCB.ucb.{u_1} {K : โ„•} {ฮฉ : Type u_1} (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ Fin K)
  (R : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (l u ฯƒ2 ฮด : โ„) (a : Fin K) (n : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„
Bandits.ClippedUCB.ucb.{u_1} {K : โ„•}
  {ฮฉ : Type u_1} (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ Fin K)
  (R : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (l u ฯƒ2 ฮด : โ„)
  (a : Fin K) (n : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„

Code

noncomputable
def ucb (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ Fin K) (R : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (l u ฯƒ2 ฮด : โ„) (a : Fin K) (n : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„ :=
  if pullCount A a n ฯ‰ = 0 then u
  else max l (min u (empMean A R a n ฯ‰ + โˆš(2 * ฯƒ2 * Real.log (1 / ฮด) / (pullCount A a n ฯ‰))))
Body uses (2)
Used by (12)

Actions: Source ยท Open Issue

All dependencies, transitively (3)

pullCount๐Ÿ”—

DefinitionLearning.pullCount
Details

Number of times action a was chosen up to time t (excluding t).

๐Ÿ”—def
Learning.pullCount.{u_1, u_3} {๐“ : Type u_1} {ฮฉ : Type u_3}
  [DecidableEq ๐“] (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (a : ๐“) (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„•
Learning.pullCount.{u_1, u_3}
  {๐“ : Type u_1} {ฮฉ : Type u_3}
  [DecidableEq ๐“] (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (a : ๐“)
  (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„•

Code

noncomputable
def pullCount (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (a : ๐“) (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„• :=
  #(filter (fun s โ†ฆ A s ฯ‰ = a) (range t))
Used by (146)

Actions: Source ยท Open Issue

sumRewards๐Ÿ”—

DefinitionLearning.sumRewards
Details

Sum of rewards obtained when pulling action a up to time t (exclusive).

๐Ÿ”—def
Learning.sumRewards.{u_1, u_3} {๐“ : Type u_1} {ฮฉ : Type u_3}
  [DecidableEq ๐“] (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“) (t : โ„•)
  (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„
Learning.sumRewards.{u_1, u_3}
  {๐“ : Type u_1} {ฮฉ : Type u_3}
  [DecidableEq ๐“] (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“)
  (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“) (t : โ„•)
  (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„

Code

def sumRewards (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“) (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„ :=
  โˆ‘ s โˆˆ range t, if A s ฯ‰ = a then R' s ฯ‰ else 0
Used by (44)

Actions: Source ยท Open Issue

empMean๐Ÿ”—

DefinitionLearning.empMean
Details

Empirical mean reward obtained when pulling action a up to time t (exclusive).

๐Ÿ”—def
Learning.empMean.{u_1, u_3} {๐“ : Type u_1} {ฮฉ : Type u_3}
  [DecidableEq ๐“] (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“) (t : โ„•)
  (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„
Learning.empMean.{u_1, u_3} {๐“ : Type u_1}
  {ฮฉ : Type u_3} [DecidableEq ๐“]
  (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“)
  (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„

Code

noncomputable
def empMean (A : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ ๐“) (R' : โ„• โ†’ ฮฉ โ†’ โ„) (a : ๐“) (t : โ„•) (ฯ‰ : ฮฉ) : โ„ :=
  sumRewards A R' a t ฯ‰ / pullCount A a t ฯ‰
Body uses (2)
Used by (34)

Actions: Source ยท Open Issue